浅谈数学破题思路与解题方法 简讯
2023-02-14 18:53:30 来源: 互联网
浅谈数学破题思路与解题方法
(资料图片)
一、综合法与分析法
综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由已知条件入手,根据已知的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来,这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果”的思维方法.
这个题的证明方法,用的就是综合法,从已知条件入手,结合相关定理得出最后的结论.
例2.已知a是不小于4的数,求证:
.
故只须不等式成立,
即>2+成立,
只须:()2>(2+)2,即2a-7>2成立,
只须(2a-7)2>(2)2即1>0即可,
而1>0,显然成立,注意到以上各步骤均可逆(每一步都是前一步的充分条件),因此原不等式成立.
这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下,逐步推导出1>0这样一个真命题,而且以上推导过程可逆.正是因为过程可逆,才保证了在1>0及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.如果我们在用分析法推导的过程中,过程不可逆那么,分析法是失效的.比如,由a>b,c>d可以推得a+c>b+d,反之则不然,这个过程就不是可逆的。
二、反证法与同一法:
反证法是一种间接证明命题的方法,它是通过证明反命题为假(即先否定结论,通过结论的否定,推出与已知条件或定理、公理、公式相矛盾的结果),从而间接证明了原命题的正确性.
例3. 如图1所示,已知平面 、 交于直线a,直线b在 内与直线a相交于A点,直线c在 内与直线a平行. 求证:b、c为异面直线.
证明:假设b、c不是异面直线,则或者b∥c,或者b、c 相交于一点.
如果b∥c,则因为a∥c,所以b∥a,这与已知条件“直线b在 内与直线a相交于A点”相矛盾;
如果bIc=P(b、c 相交于一点),则因为c ,b ,所以P∈ ,且P∈ ,从而P∈a= I ,故直线a、c相交于P点,这又与已知条件“直线c在 内与直线a平行” 相矛盾.
以上矛盾说明b、c必为异面直线.
这个题的`证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否定结论,推出矛盾,从而达到间接证明命题为真的效果的。
例4. 试证明三角形的三条中线相交于一点.
已知:在△ABC中,AD,BE,CF是它的三条中线(如图 2所示),
求证:AD,BE,CF三线共点
证明:设△ABC中,BC、AC边的中线AD,BE相交于一点G,连结CG并延长与AB相交于F1点,
因为DE是△ABC的中位线,从而DE∥AB,设DE与CF1相交于M点,于是有
==,即= ;………(1)
==,即=;………(2)
该题的证明方法就是同一法。
三、归纳法与合情推理
归纳法是从特殊到一般的一种推理方法,它有别于演绎法(一种由一般到特殊的推理方法),是合情推理的一种方法.它又分为不完全归纳法,和完全归纳法,其中数学归纳法是一种最常用的方法.
例5. 试写出数列:,,,,,∧∧的一个通项公式.
解:观察这个数列的前5项,发现分母逐渐增大,且是连续的自然数,而分子始终围绕在分母的前后进行变化,尝试着将各项拆分发现有以下规律:
a1==1-=1+(-1)1
a3==1-=1+(-1)3,
a4==1+=1+(-1)4,
a5==1-=1+(-1)5∧∧,
故猜想这个数列的第n项an=1+(-1)n,显然经过验证,前5项均满足这个公式.
由于这个数列只给出了前5项,且经过验证,都符合这个通项公式.即便没有对数列的每一项都做出分解分析(也不可能全部进行分析),只是分析了前5项反映出来的规律,我们仍然认为这个结论是合理的.这个结论就是运用不完全归纳法得出来的.
解:因为an=pan-1,p≠0,所以=p,{an}是个等比数列,an=pn又因为b1=q,bn=qan-1+rbn-1得:
b2=qa1+rb1=qp+rq=q(p+r),
b3=qa3+rb2=q?p2+r?q2(p+r)=q(p2+pr+r2),
b4=qa4+rb3=q?p3+rq(p2+pr+r2)=q(p3+p2r+r3), ,
………………
可以推断:
=
现在用数学归纳法证明如下:
当n=1时,b1==q,推断成立;
假设当n=k时,推断成立,即bk=,那么,当n=k+1时,bk+1=qak+rbk=q?pk+r?=,即n=k+1时推断也成立,所以对一切自然数,都有bn=.
四、解析法与向量法
平面解析几何是数形结合的典范,它以坐标为纽带,将数与形紧密地联系在一起,并通过他们的相互转换达到解决问题的目的.因此人们又把这种通过建立坐标系,将几何的问题化为代数的问题来解决的方法叫解析法.
例7. 已知在△ABC中,D为BC边上任意一点(异于B、C ),且|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|,
求证:△ABC是等腰三角形.
证明:如图3所示,建立平面直角坐标系,B、C两点在x轴上,A点在y轴上,设A、B、C、D点的坐标分别为A(0,a),B(-b,0),C(c,0),D(d,0),于是|AB|=,|AD|=,|BD|=d+b,|DC|=c-d,因为|AB|2=|AD|2+|BD|?|DC|,所以a2+b2=a2+d2+(d+b)(c-d),得b2-d2=(d+b)(c-d),又因为D为BC边上任意一点(异于B、C ),b≠-d,从而b-d=c-d,即b=c,|OB|=|OC|,△ABC是等腰三角形.
向量是数学中的重要概念之一 。由于向量具有几何形式和代数形式“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介。特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时 ,向量工具有其独到之处。
参考文献:
[2]王学贤.浅析同一法[J].数学教学通讯,1984(3).
[3]顾越岭.高中数学精讲[M].江苏教育出版社.
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